Tartalom

• Lépések
• tippek

A matematikusoknak és a grafikus programozóknak gyakran meg kell találniuk a két vektor közötti szöget. Szerencsére az e szög kiszámításához használt képlet nem igényel többet, mint egy egyszerű skaláris szorzat. Bár a képlet érvelése könnyebb megérteni, ha kétdimenziós vektorokat alkalmazunk, könnyen hozzáigazíthatjuk bármilyen számú komponenst tartalmazó vektorokhoz.

Lépések

1. rész 2-ből: Számítsa ki a két vektor közötti szöget

1. 

   Azonosítsa a két vektort. Írja le az összes ismert információt a két vektorról. Ennek az oktatóanyagnak a feltételezéséhez feltételezzük, hogy csak a dimenziós koordináták alapján ismeri a vektorokat (más néven alkatrészek). Ha már ismeri a modul vagy alapértelmezett ezeknek a vektoroknak (vagyis hosszuknak) kihagyhatja az alábbi lépéseket.
   • Példa: A kétdimenziós vektorokat (= 2,2) és = (0,3) vesszük figyelembe. Ez a két vektor átírható mint = 2én + 2j e = 0én + 3j = 3j.
   • Noha a példa két kétdimenziós vektort használ, a következő utasításokat tetszőleges számú komponensű vektorokra alkalmazhatjuk.

2. 

   
   
   Írja meg a koszinusz képletet. Ahhoz, hogy megtudjuk a két vektor közötti the szög értékét, először ki kell számolnunk ennek a szögnek a koszinuszát. Részletesen kereshet és megtudhat a képletből, vagy egyszerűen megírhatja az alábbiak szerint:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| képviseli a modul (vagy a vektor hossza) ".
   • • képviseli a skaláris termék (vagy belső termék) a két vektorból.

3. 

   
   
   Számítsa ki az egyes vektorok modulusát. Képzeljünk el egy derékszögű háromszöget, amelyet az elem alkot x vektor, annak komponense y és maga a vektor. Ebben a háromszögben a vektor játszik a hipotenusz szerepét; ezért annak hosszának meghatározásához a Pythagora-tételt alkalmazzuk. Ennek eredményeként ez a képlet könnyen alkalmazható tetszőleges számú komponenst tartalmazó vektorokra.
   • || u || = u₁ + u₂. Ha a vektornak kettőnél több komponense van, akkor folytassa a + u hozzáadását₃ + u₄ +...
   • Ezért egy kétdimenziós vektorhoz ezt meg kell tennünk || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Példánkban |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Számítsa ki a skalár szorzást a két vektor között. Már tudnia kell a vektorok szorzásának módszerét, más néven skaláris termék. Két vektor skaláris szorzatának kiszámításához az összetevők szempontjából szorozzuk meg az összetevőket ugyanabba az irányba egymással, majd hozzáadjuk ezeknek a termékeknek az eredményeit.
   • Ha számítógépes grafikus programokkal dolgozik, akkor a folytatáshoz először keresse fel a "Tippek" részt.
   • Matematikai szempontból • = u₁v₁ + u₂v₂, ahol u = (u₁, u₂). Ha a vektornak kettőnél több komponense van, akkor csak folytassa a + u hozzáadását₃v₃ + u₄v₄...
   • Példánkban • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ez a vektorok és a vektorok közötti skaláris szorzat értéke.

5. 

   Helyezze ezeket az eredményeket a koszinusz képletbe. Ne feledje, hogy cosθ = (•) / (|||| || ||). Már kiszámoltuk a két vektor skaláris szorzatát és modulusát. Most cseréljük ki ezeket az értékeket a képletben és számítsuk ki a szög koszinuszát.
   • Példánkban cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Keresse meg a szöget a koszinusz alapján.
   A számológép ív- vagy cos-függvényével határozza meg a determine szöget koszinuszértéke alapján. Bizonyos esetekben a szögérték az egység kör alapján megtalálható.
   • Példánkban cosθ = √2 / 2. Írja be a "arccos (√2 ​​/ 2)" számológépébe a szög megállapításához. Egy másik lehetőség az egység kör θ szögének megkeresése, ahol cosθ = √2 / 2: ez igaz a θ = /₄ vagy 45 °.
   • Az összes információ összeállítása után a végső képletet kapjuk: θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

2/2 rész: A szög kiszámításához szükséges képlet meghatározása

1. 

   Ismerje meg a képlet célját. A két vektor közötti szög kiszámításához használt képlet nem a már létező szabályokból származik; ehelyett a két vektor közötti skaláris szorzat és a köztük lévő szög meghatározásaként hozták létre. Ez a döntés azonban nem önkényes. Az alapgeometria alaposabb megismerésével kiderül, hogy ez a képlet miért eredményez ilyen hasznos és intuitív meghatározásokat.
   • A következő példák kétdimenziós vektorokat használnak, mivel ezek a leginkább intuitív típusok a munkához. A három vagy több méretű vektorok tulajdonságait az általános képlet határozza meg (szintén nagyon hasonló módon).

2. 

   Olvassa el a koszinusz törvényt. Bármely háromszögben vegye figyelembe az oldalak által kialakított θ szöget A és B és az oldal ç e szöggel szemben. A koszinusz törvény szerint c = a + b -2abövrész(Θ). A képlet bemutatása az alapgeometria ismeretéből könnyen megszerezhető.

3. 

   Csatlakoztassa a két vektort háromszög kialakításához. Rajzolj egy pár vektort, és közöttük legyen them szög. Ezután rajzoljon egy harmadik vektort közöttük háromszöget. Más szavakkal, rajzolja meg a vektort úgy, hogy + =, vagy egyszerűen = -.

4. 

   Alkalmazza a koszinusz törvényt erre a háromszögre. Cserélje le a mi oldalsó hosszát vektor háromszög (vagyis a vektormodul) a koszinusz törvény képletében:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||övrész(θ)

5. 

   Írja át a képlet skaláris termékekkel. Ne feledje, hogy a ponttermék az egyik vektor kinagyítása a másikra. Maga a vektor skaláris szorzata nem igényli vetítést, mivel nincs irányváltozás. Ez azt jelenti, hogy • = || a || Ezen információ alapján írjuk újra a koszinusz egyenletét:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||övrész(θ)

6. 

   Egyszerűsítse a képletet. Bontsa ki az egyenlet bal oldalán található termékeket, majd egyszerűsítse, amíg el nem éri a képletet, amelyet a szögek kiszámításához tudunk.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||övrész(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||övrész(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||övrész(θ)
   • • = || a || || b ||övrész(θ)

tippek

• A gyors felbontáshoz alkalmazza a következő képletet bármely kétdimenziós vektorpárra: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ha számítógépes grafikus programokkal dolgozik, akkor valószínűleg csak a vektorok irányát kell tudnia, nem pedig a hosszukat. Az egyenletek egyszerűsítéséhez és a program felgyorsításához kövesse az alábbi lépéseket:
  • Normalizálja az egyes vektorokat, vagyis keresse meg az egységvektort, amelynek az iránya megegyezik az eredeti vektorral. Ehhez ossza meg a vektor egyes alkotóelemeit a vektor modullal.
  • Számítsa ki a normalizált vektorok skaláris szorzatát, nem az eredeti vektorokat.
  • Mivel a normalizált vektorok modulusa (vagyis hossza) egységesek, ezeket a képletből kihagyhatjuk. A szögek kiszámításához az utolsó egyenlet ívek (•).
• A koszinusz törvény képlete alapján gyorsan megtudhatjuk, hogy a kérdéses szög akut vagy tompa-e. Kezdje a cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Az egyenlet bal és jobb oldalának azonos jelzéssel kell rendelkeznie (pozitív vagy negatív).
  • Mivel a hosszúságok mindig pozitívak, a cosθ mindig ugyanazzal a jelöléssel rendelkezik, mint a skaláris szorzat.
  • Ezért, ha a skaláris szorzat pozitív, akkor a cosθ pozitív. Ez azt jelenti, hogy a szög az egységkör első negyedében van, vagyis θ <π / 2 vagy 90 °. Ezért a szög éles.
  • Ha a skaláris szorzó negatív, akkor cosθ negatív. Ez azt jelenti, hogy a szög az egységkör második negyedében van, vagyis π / 2 <θ ≤ π vagy 90 ° <θ ≤ 180 °. Ezért a szög tompított.