Hogyan lehet megtalálni a tangens vonal egyenletét a görbével

Tartalom

Lépések
Tippek

Az egyenes vonallal ellentétben a görbe meredeksége folyamatosan változik, miközben a grafikon mentén mozog.A Kalkulus bemutatja a hallgatóknak azt a koncepciót, hogy a grafikon minden pontja lejtéssel vagy "pillanatnyi változás sebességgel" írható le. Az érintő egyenes a lejtőhöz képest egyenes, amely a grafikon ugyanazon pontján halad át. Ahhoz, hogy megtudja, mi az érintőegyenlet, tudnia kell, hogyan lehet kivonni a származékot az eredeti egyenletből.

Lépések

1/2 módszer: A tangens egyenletének megkeresése

Vázolja fel a függvényt és az érintőt (ajánlott). A diagram segít nyomon követni a problémát és megnézni, van-e értelme a válasznak. Vázolja fel a függvényt egy grafikonpapírra, szükség esetén egy grafikus számológép használatával. Rajzolja meg az adott ponton áthaladó érintőt (ne felejtse el, hogy áthalad ezen a ponton, és ugyanolyan meredekségű, mint az ottani grafikon).
- 1. példa: Vázolja fel a példabeszéd grafikonját. Rajzolja meg az érintőt, amely áthalad a ponton (-6, 1).
  Még mindig nem ismeri az érintőegyenletet, de láthatja, hogy a meredekség negatív, és hogy az y metszete is negatív (jóval a parabola csúcsa alatt, y = -5,5 értékkel). Ha a végleges válasz nem egyezik meg ezekkel a részletekkel, ellenőrizheti a számításokat, hogy vannak-e hibák.
Szerezzük meg az első rendű deriváltat, hogy megtaláljuk a lejtő tangens. Az f (x) függvény esetében az első f '(x) derivált az tangens meredekségének egyenletét jelenti az f (x) bármely pontján. Sokféle módon lehet levezetni. Itt van egy egyszerű példa, amely a teljesítményszabályt használja:
- 1. példa (folytatás): a grafikont a függvény írja le
  Ne feledje a hatáskörök szabályát, amikor derivatívákat készít :.
  A függvény első deriváltja egyenlő lesz f '(x) = (2) (0.5) x + 3 - 0.
  f ’(x) = x + 3. Írja be az egyenlet x értékének bármelyik„ a ”értékét, és az eredmény megegyezik f (x) érintőjének meredekségével abban a pontban, ahol x = a.
Adja meg a vizsgálandó pont x értékét. Olvassa el a problémát, hogy megtalálja annak a pontnak a koordinátáit, amelynek érintőjét meg szeretné találni. Írja be az adott pont x koordinátáját f ’(x) -be. Az eredmény az érintő meredeksége lesz ezen a ponton.
- 1. példa (folytatás): a feladatban említett pont (-6, -1). Használja az x = -6 koordinátát az f ’(x) független változó értékeként:
  f ’(- 6) = -6 + 3 = -3
  Az érintő meredeksége -3.
Írja meg az érintőegyenletet alapvető formában! A lineáris egyenlet alapvető formáját az ábrázolja, ahol m a meredekséget (a vonal meredekségét) és egy pontot képvisel a vonalon.Most minden információ megvan, amire az érintőegyenletet ebben a formában kell megírni.
- 1. példa (folytatás):
  A vonal meredeksége egyenlő -3-mal, ezért.
  Az érintő áthalad a (-6, -1) ponton, így a végső egyenletet ábrázolni lehet.
  Egyszerűsítse
  .
Erősítse meg az egyenletet a grafikonon. Ha rendelkezik grafikus számológéppel, állítsa be az eredeti függvényt és az érintőt annak ellenőrzésére, hogy az eredmény helyes-e. Ha papíron dolgozik, térjen vissza az előző táblázathoz, hogy megbizonyosodjon arról, hogy nincsenek hibák a válaszban.
- 1. példa (folytatás): az első vázlatból kiderült, hogy az érintő meredeksége negatív, és az y metszete jóval -5,5 alatt van. Az általunk talált érintőegyenletet y = -3x - 19 adja meg alapformában, jelezve, hogy -3 a lejtőt és -19, az y-metszet. Mindkét attribútum megegyezik a kezdeti jóslatokkal.
Próbáljon megoldani egy nehezebb problémát. Itt van az egész folyamat ismételt nyomon követése. A cél az x = 2 pont érintőjének megtalálása:
- A hatványszabály alkalmazásával az első derivált egyenlő lesz. Ez a függvény megmutatja, hogy mi az érintő meredeksége.
- Ha x = 2, keresse meg. Ez a függvény meredeksége, ha x = 2.
- Ne feledje, hogy ezen a ponton nincs pontértékünk, hanem csak egy x koordináta. Az y koordináta megismeréséhez írja be az x = 2 értéket a kezdeti függvénybe :. A lényeg (2.27) lesz.
- Írja meg az érintőegyenletet alapvető formában:
  
  Ha szükséges, egyszerűsítse azt y = 25x - 23-ra.

2/2 módszer: A kapcsolódó problémák elhárítása

Keresse meg a grafikon szélső pontjait. Ezek azok a pontok, amikor a grafikon eléri a helyi maximumot (pont magasabb, mint bármelyik oldalon lévő pontok), vagy egy helyi minimumot (alacsonyabb, mint bármelyik oldal bármely pontja). Az érintő ezeken a pontokon mindig 0-val megegyező lejtéssel rendelkezik (vízszintes vonal), ami nem feltétlenül jelent szélső pontot. Itt találhatja meg, hogyan találhatja meg őket:
- Keresse meg a függvény első deriváltját, hogy megkapja az f '(x) -t, az érintő meredekségének egyenletét.
- Oldja meg f ’(x) = 0, hogy megtalálja lehetséges szélső pontok.
- Vegyük a második deriváltat, hogy megkapjuk az f ’’ (x) egyenletet, amely megmondja, milyen gyorsan változik az érintő meredeksége.
- Minden lehetséges szélső pontnál adja meg az x = koordinátát A az f ’’ -ben (a). Ha az f ’’ (a) értéke pozitív, akkor helyi minimum van A. Ha az f '' (a) értéke negatív, akkor ez egy helyi maximum. Ha az f ’’ (a) értéke 0-val egyenlő, akkor van egy inflexiós pont, nem pedig egy szélső pont.
- Van-e maximum vagy minimum a A, keresse meg az f ’’ (a) értékét az y koordináta megtalálásához.
Keresse meg a normál egyenletet. A lejtő "normál" -ja egy adott ponton áthalad ezen a ponton, de lejtése merőleges az érintőre. A normál egyenletének megtalálásához használja ki azt a tényt, hogy a szorzat (az érintő meredeksége). (A normál meredeksége) = -1, amikor mindkettő ugyanazon a ponton megy keresztül a grafikonon. Más szavakkal:
- Keresse meg az f ’(x) -t, az érintő meredekségét.
- Ha a pont x = A, keresse meg az f ’(a) pontot, hogy megtalálja az érintő meredekségét az adott helyen.
- Számolja ki, hogy megtalálja a normál meredekségét.
- Írja meg a normál egyenletet alapformában!