Tartalom

• Lépések
• tippek

Azok számára, akik nehezen tudják matematikát, a négyzetgyök szimbólumának látása hidegrázást okozhat. Az ezzel a szolgáltatóval kapcsolatos problémák azonban nem olyan bonyolultak, mint amilyennek látszanak. Időnként az egyszerű négyzetgyök problémák ugyanolyan egyszerűek lehetnek, mint az egyszerű szorzás vagy osztás. Másrészt, a bonyolultabb problémák több munkát eredményezhetnek. A megfelelő megközelítés mellett ezek mindegyike egyszerűen néz ki. Most kezdje el a négyzetgyök problémáinak gyakorlását, és tanulja meg ezt az új matematikai készséget radikális!

Lépések

1. rész a 3-ból: A négyzet és a négyzet alakú gyökerek fogalmának megértése

1. 

   Mielőtt megértenék a négyzetgyökereket, először meg kell érteni, mi a szám négyzete. Könnyű megérteni. Egy szám négyzetének megadásához szorozzuk meg önmagával. Például, a 3 négyzet megegyezik a 3 × 3 = 9-gyel, a 9-es négyzet pedig ugyanaz, mint a 9 × 9 = 81. A négyzeteket egy kis "2" -vel jelöljük a felhívandó szám jobb felső sarkában, így: 3, 9, 100 és így tovább.
   • A koncepció gyakorlásához próbáljon meg még néhány számot négyzettel jelölni. Ne feledje, hogy egy szám négyszög összeillesztése önmagában megszorozza azt. Ezt megteheti negatív számokkal is, de ne feledje, hogy ebben az esetben a válasz mindig pozitív. Például -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   A négyzetgyök megtalálásához keresse meg a potencírozás "inverzét". A gyökér szimbólum (√, más néven "radikális") alapvetően a szimbólum "ellenkezőjét" jelenti. Amikor egy radikált látsz, kérdezd meg magadtól: „Milyen számot szorozhatom meg önmagában úgy, hogy az eredmény a radikálison belüli szám legyen?” Például, amikor a √ (9) látszik, próbálja meg megtalálni azt a számot, amely négyzetben, kilenc: ebben az esetben a válasz lesz hárommert 3 = 9.
   • További példa: keressük meg a 25 négyzetgyökét (√ (25)). Ez azt jelenti, hogy meg kell találnunk azt a számot, amely négyzetben egyenlő 25. Mivel 5 = 5 × 5 = 25, azt mondhatjuk, hogy √ (25) = 5.
   • Arra is gondolhat, hogy ez a művelet a négyzet alakú magasság "visszavonásának" módja. Például, ha meg kell találnunk a √ (64) -et, a 64-es négyzetgyökét, akkor a 64-ről 8-ra kell gondolni. Mivel a négyzetgyök alapvetően "törli" egy magasság négyzetét, azt mondhatjuk, hogy √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Tudja meg a különbséget a tökéletes négyzet és a tökéletlen négyzet között. A négyzetgyök problémáira eddig egész számok adtak választ. Nem mindig fog megtörténni. Valójában a sugárzási művelet eredménye néha hosszú, bonyolult tizedesjegyeket eredményezhet. Ha egy szám gyöke egész szám, azaz ha nem egy tört vagy tizedes, akkor ezt hívják tökéletes négyzet. Az összes fenti példa (9, 25 és 64) tökéletes négyzet, mivel gyökerek egész számok (3, 5 és 8).
   • Másrészt azokat a számokat hívják meg, amelyek gyökerei nem egészek tökéletlen négyzetek. Ezen számok egyikének gyökérének kiszámításakor olyan eredményt kapunk, amely általában tört vagy tizedes. Időnként a tizedesjegyek meglehetősen bonyolultak lehetnek, mint például a példában: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Memorizálja legalább az első 12 tökéletes négyzetet. Mint láttuk, egy szám négyzetgyökének kiszámítása nagyon egyszerű lehet! Ezért fontos, hogy szánjon időt az első tucat tökéletes négyzet négyzetgyökerének megjegyzésére. Hajlamosak sokat megjelenni a tesztekben, így azok memorizálása sok időt takaríthat meg. Az első 12 tökéletes négyzet a következő:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Ha lehetséges, egyszerűsítse a gyökereket a tökéletes négyzetek eltávolításával. A tökéletlen négyzetek négyzetgyökének megkeresése nagyon bonyolult lehet, főleg ha nem áll rendelkezésre számológép (az alábbi részekben trükköket tanulnak a folyamat egyszerűsítéséhez). A számítások megkönnyítése érdekében azonban néha egyszerűsíteni lehet a gyökér belsejében lévő számokat. Csak ossza meg a gyökér belsejében lévő tényezőket, majd kiszámolja a tényezőknek a tökéletes négyzetét, és írja meg a választ a radikálison kívül. Ez könnyebb, mint amilyennek látszik. Lásd alább, hogy jobban megértse!
   • Tegyük fel, hogy meg kell találnia a 900 gyökerét. Kezdetben ez elég nehéz feladatnak tűnik! Minden sokkal könnyebb, ha a 900-at tényezőkre osztjuk. Az „x” szám tényezői olyan számhalmaz, amely megszorozva „x” -et eredményez. Például 6-ot kaphatunk az 1 × 6 és 2 × 3 szorzásával, tehát a 6 tényezői 1, 2, 3 és 6.
   • Ahelyett, hogy a 900-tal dolgoznánk, ami kissé furcsa lehet, írjuk inkább 9 × 100-ként. Most, mivel a 9-t, amely egy tökéletes négyzet, elválasztjuk a 100-tól, kiszámolhatjuk annak négyzetgyökét. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Vagyis √ (900) = 3√(100).
   • Még egyszer kétszer egyszerűsíthetjük a 100-at 25 és 4 tényezőre osztva. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Tehát azt mondhatjuk, hogy √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Használjon képzeletbeli számokat a negatív számok gyökerének kiszámításához. Kérdezd meg magadtól, hogy melyik szám megszorozva önmagában eredményez -16-t? Nem 4 vagy -4, mert e két szám négyzete 16. Ha feladnánk? Valójában nincs mód a -16 vagy bármely más negatív szám négyzetgyökének írására, csak valós számok felhasználásával. Ilyen esetekben képzeletbeli számokat kell használni (általában betűk vagy szimbólumok formájában), hogy helyettesítsük a negatív szám négyzetgyökét. Az "i" változó például a -1 négyzetgyökének megjelölésére szolgál. Általános szabály, hogy a negatív szám gyökere mindig egy képzeletbeli szám lesz (vagy legalább tartalmazza).
   • Ne feledje, hogy bár a képzeletbeli számokat nem lehet valós számokkal ábrázolni, bizonyos körülmények között mégis kezelhetők. Például, ha a „-x” negatív szám gyökere négyzet alakú, akkor az „-x” -ot is eredményez, csakúgy, mint bármely más gyökér. Vagyis i = -1

2. és 3. rész: Hosszú osztásos módszerek használata

1. 

   A négyzetgyök problémáját úgy kezelje, mintha egy hosszú megosztás lenne. Annak ellenére, hogy kissé fárasztó, kalkulátor használata nélkül megtalálhatja a bonyolult, tökéletlen négyzetek számát. A módszer (vagy algoritmus) hasonló (de nem azonos) a hosszú osztás módszerével. A hosszú osztás az a hagyományos módszer, amellyel kézzel osztják meg az osztást.
   • Kezdje a probléma kezdeti meghatározásával, amely hasonló lesz a hosszú osztáséhoz. Tegyük fel például, hogy meg kell találnia a 6.45 gyökerét, amely egyértelműen nem tökéletes négyzet. Először egy négyzetgyökű szimbólumot írunk (√), majd behelyezzük a számunkat. Ezután egy sort kell készítenünk a √ szimbólumból, amíg az lefedi a teljes számot, és egy olyan dobozban hagyja, amely hasonló a hosszú osztó elválasztójához. A különbség az, hogy itt a válasz a rovat felett lesz, nem pedig lent, mint a hagyományos osztásban. Amikor befejezzük, hosszúkás „√” jelünk lesz, amely a teljes 6.45-et lefedi.
   • Írjunk számokat erre a mezőre, így hagyj helyet.

2. 

   Csoportosítsa a számjegyeket párokba. A probléma megoldásának megkezdéséhez párosítsa a szár számon belüli számjegyeit tizedesjeggyel kezdve. Párok között kis jelöléseket (például pontokat, oszlopokat, vesszőket stb.) Készíthet a párok között, hogy elválaszthassák őket.
   • Példánkban a 6.45-et három párra kell osztani: 6-,45-00. Lásd, hogy van egy kevesebb számjegy a bal oldalon, ezzel nincs probléma.

3. 

   Keresse meg a legnagyobb számot, amelynek négyzete kevesebb vagy egyenlő az első "csoport" értékével. Kezdje az első számpárral a bal oldalon. Válassza ki a legnagyobb számot, amelynek négyzete kisebb vagy egyenlő a "csoporttal". Például, ha a csoport 37 volt, válassza a 6-at, mert 6 = 36 <37, de 7 = 49> 37. Írja ezt a számot az első csoport fölé. Ez a válasz első számjegye.
   • Példánkban az első csoport a 6-, 45-00-ban a 6. Az első legnagyobb szám, amelynek négyzete kevesebb vagy egyenlő, mint 6 2, mert 2 = 4. Írjunk "2" -ot a radikálisan belüli 6-ra.

4. 

   Nézze meg a válasz első számjegyét (a számot, amelyet csak találtunk), és szorozza meg kettővel. Írja le az eredményt az első csoport alá, és végezzen kivonást a különbség megtalálásához. Ezután görgessen lefelé a következő számpáron, hozzáadva azokat a különbséghez, amelyet csak találtunk. Végül írja a bal oldali utolsó számjegyét a válasz első számának kétszeresére, és hagyjon szóközt mellette.
   • Példánkban az első lépés az lenne, ha kettős értéket találnánk, amely a válasz első számjegye. 2 × 2 = 4. Ezután le kell vonnunk a 4-t a 6-ból (az első "csoportunk"), és válaszként 2-t kapunk. Most le kell lépnünk a következő csoportra (45), hogy 245-et kapjunk. Végül újra írunk a 4-re a bal oldalon, így a jobb oldalon egy kis üres helyet hagyunk, így: 4_.

5. 

   Töltse ki az üres. Most egy számjegyet kell tennünk az üres hely helyett a bal oldalon írt szám mellé. Válassza ki azt a számjegyet, amelynek ha a bal oldali számmal megszorozzuk, és az üres hely helyett helyettesül, maximális értéke van, de kevesebb, mint a jobb oldalon látható szám. Ez kicsit bonyolultnak tűnhet, ezért nézzünk meg néhány példát a megértéshez. Ha a lejjebb lévõ szám, azaz a jobb oldalon lévõ szám 1700, a jobb oldalon lévõ szám 40_, akkor kitöltenénk az üreset a 4-es számmal, mert 404 × 4 = 1616 <1700 és 405 × 5 = 2025 Az ebben a lépésben talált szám a válasz második számjegye lesz, így felveheti a szár szimbóluma fölé.
   • Példánkban meg kell találnunk azt a számot, amelyben kitölteni kell az üres helyet 4_ × _ formátumban, ami a választ lehető legszélesebbé teszi, de 245-nél kisebb vagy azzal egyenlő. Esetünkben a válasz 5mert 45 × 5 = 225 és 46 × 6 = 276.

6. 

   A válasz összeállításához folytassa a kitöltő számokat. Folytassa ezt a módosított hosszú osztásos módszert mindaddig, amíg nullákat nem kap, és levonja a radikálisból ereszkedő számot, vagy amíg el nem éri a kívánt pontossági szintet. Ha kész, az egyes lépésekben a kitöltésre használt számok (és természetesen az első szám, amelyet használunk) alkotják a válaszjeleket.
   • Folytatva a példánkat, akkor a 225-öt levonjuk a 245-ből, hogy 20-at kapjunk. Ezután leolvassuk a 00 számjegyet, hogy 2000-t kapjunk. A radikális feletti szám megduplázásával 25 × 2 = 50-et kapunk. _ = / <2000, kapjuk 3. Ezen a ponton "253" van a radikálisról. A folyamat újbóli megismételésével 9-et kapunk a következő számjegyként.

7. 

   Helyezze a vesszőt a helyes helyzetbe a válaszban. A válasz befejezéséhez a tizedespontot még mindig a megfelelő helyre kell helyeznünk. Ez a rész könnyű: tedd a vesszőt a válaszba ugyanabba a helyzetbe, mint a vesszőt a radikális számban. Például, ha a radikális szám 49,8, akkor csak tegye a vesszőt a válaszba az alábbi helynek megfelelő helyre, azaz a 9 és 8 feletti két szám közé.
   • Példánkban a radikális szám 6,45. A válasz megkapásához helyezze a vesszőt a 6 és 4 feletti számok közé, amelyek ebben az esetben 2, illetve 5, és kapja meg a választ: 2,539.

3/3 rész: A hiányos négyzetek gyors becslése

1. 

   Keresse meg a választ becslésen keresztül. Miután megismerte néhány tökéletes négyzet gyökerét, sokkal könnyebb lesz megtalálni a tökéletlen négyzetek gyökerét. Az előző lépésben javasoljuk, hogy megjegyezze legalább az első tizenkét tökéletes négyzetet és gyökereiket. A jó hír az, hogy a becslés segítségével becslést kaphatunk egy nem tökéletes négyzet gyökerére, amely két ismert négyzet között van. Ehhez meg kell találnunk az első tökéletes négyzetet, amely nagyobb, mint a kívánt szám, és az utolsó kisebbet, hogy a kérdéses szám a kettő között legyen. Ezután meg kell próbálnunk kideríteni, hogy e két tökéletes négyzet közül melyikhez a legközelebb van a kívánt szám gyökere.
   • Tegyük fel például, hogy meg kell találnunk a 40-es négyzetgyököt. Mivel a tökéletes négyzeteinket memorizáljuk, azt mondhatjuk, hogy a 40 6 és 7 közötti, azaz 36 és 49 között van. Mivel a 40 nagyobb, mint 6, négyzetgyöke lesz nagyobb, mint 6. Hasonlóképpen, mivel kevesebb, mint 7, a gyökér kevesebb, mint 7. 40 kissé közelebb van 36-hoz, mint 49, tehát a válaszunk valószínűleg közelebb áll a 6.-hoz. A következő lépésekben , javítani fogjuk becslésünk pontosságát.

2. 

   Növelje a pontosságot egy tizedesjegyig. Miután megtalálta a két egymást követő tökéletes négyzetet, amelyek alkotják az Ön számát tartalmazó tartományt, csak próbáljon megnövelni a becslés pontosságát olyan pontig, amely kielégítőnek tartja. Minél többet próbálnak javítani a becslést, annál nagyobb a pontosság. A kezdéshez becsülje meg az első tizedes pontosság értékét. Ennek a becslésnek nem kell helyesnek lennie, de a logikával valószínűleg a válaszhoz legközelebb álló érték kiválasztására megkönnyíti a folyamatot.
   • Példánkban elfogadható becslés lehet a 40 négyzetgyökre 6,4, mert már tudjuk, hogy a válasz valószínűleg valamivel közelebb áll a 6-hoz, mint a 7-hez.

3. 

   Szorozzuk meg a becslést önmagával. Hacsak nem nagyon szerencsés, az eredmény nem lesz a kezdő szám (a példánkban 40). A helyes válaszhoz való közeledéshez módosítania kell a becslést.Ha az eredmény meghaladja a kiindulási számot (azaz 40 felett), próbáljon meg egy alacsonyabb becslést. Hasonlóképpen, ha az eredmény a kívánt szám alatt van, növelje a becslést.
   • Szorzozzuk meg a 6.4-et, hogy 6,4 × 6,4 = -ot kapjunk 40,96, amely valamivel magasabb, mint a kezdeti szám.
   • Mivel a becslésünk éppen meghaladta a helyes értéket, ezért csökkentsük egy tizeddel, hogy 6,3 × 6,3 = legyen 39,69. Az eredmény valamivel kevesebb volt, mint az eredeti szám. Ez azt jelenti, hogy a 40 gyökérje valamilyen számú 6,3 és 6,4 között. Továbbá, mivel a 39,69 közelebb van a 40-hez, mint a 40,96-hoz, tudjuk, hogy a gyökér közelebb lesz a 6.3-hoz, nem pedig a 6.4-hez.

4. 

   Ha szükséges, folytassa a becslés javítását. Ezen a ponton, ha elégedett a válaszgal, használja az első közelítések egyikét becslésként. Ha azonban pontosabb válaszra van szüksége, csak próbálja megbecsülni a második tizedes jegy, válasszon egy értéket az előző kettő között (azaz 6,3 és 6,4 között). Ezzel a módszerrel három tizedesjegyet, négyet, ötet és így tovább becsülhetünk, csak a válaszhoz szükséges pontosságtól függően.
   • Példánkban a 6.33 választhatjuk úgy, hogy a becslést két tizedes pontossággal végezzük. Szorozzuk meg a 6.33-ot önmagában, hogy 6,33 × 6,33 = 40,0689-et kapjunk. Mivel ez az eredmény kissé meghaladta a kezdeti számot, kissé alacsonyabb értéket választhatunk, mint például 6.32. Ebben az esetben 6,32 × 6,32 = 39,9424, az eredmény kissé a kezdőszám alatt van. Ezért arra a következtetésre juthatunk, hogy a 40 pontos gyöke a 6,32 és 6,33 között. Ha szükséges, folytathatjuk ezt a módszert, hogy egyre pontosabb megközelítéseket kapjunk a kívánt szám gyökeréhez.

tippek

• Ha gyors javításra van szüksége, használjon számológépet. A legtöbb modern számológép azonnal kiszámolhatja a négyzetgyökereket. Általában írjon be bármilyen számot, és nyomja meg a négyzetgyök szimbólummal ellátott gombot. Például a 841 gyökérének megkereséséhez csak nyomja meg a 8, 4, 1, majd a (√) gombot, hogy megkapja a választ: 39.